数学研究会の活動(10/9)

数学研究会の活動(10/9火曜日)

した。本当は37番教室(画像1)というところで行う予定でしたが、他の部活が使用したいとのことだったので、5A教室で活動を行いました。

  (画像は37番教室)　

　本日解いた問題は、2007年の京都大学入試問題第4問。問題は、次の通りです。

△ABCにおいて、∠Aの二等分線とこの三角形の外接円との交点でAと異なっている点をA’とする。同様に∠B, ∠Cの二等分線とこの外接円との交点をそれぞれB’, C’とする。このとき3直線AA’, BB’, CC’は１点Hで交わり、この点Hは、三角形A’B’C’の垂心と一致することを証明せよ。(大問

4。(配点：35点)

注意:この下に解答があります！

(画像2:問題文)

(画像3:部員の解答)

解答

∠ABC, ∠ACBの二等分線の交点をDとする。

Dから各辺BC, CA, ABに下ろした垂線の足をそれぞれE, F, Gとする。

△BDE≡△BDE(直角三角形において斜辺とその他1辺がそれぞれ等しいため)

同様に、△CDR≡△CDF。

従って、DE=DG, DE=DF。よって、DG=DF
このことから、△ADG≡△ADF

従って、∠DAG=∠DAF。

以上より、ADは∠BACの二等分線となる。

 (ここまでの証明は、三角形の各角度の二等分線が一点で交わることの証明。この点を内心という)

∠BAA’=∠CAA’(=αとおく)

∠ABB’=∠CBB’(=βとおく)
∠ACC’=∠BCC’(=γとおく)

△ABCの内角和=2(α+β+γ)=180°

よって、α+β+γ=90°。また、

∠BB’A’=∠BAA’=α(円周角の定理)

∠AA’B’∠ABB’=β(円周角の定理)

∠BB’C=∠BCC’=γ(円周角の定理)

よって、AA’とB’C’との交点をPとおくと、△A’B’Pにおいて、

∠PA’B’+∠A’B’P=β+(α+γ)

                =90°
∠A’PB=90°となり、AA’⊥B’C’

同様にして、BB’⊥A’C’, CC’⊥A’B’

以上より、Hは、△A’B’C’の垂心となる。

最後までご覧いただきありがとうございます。これからも数学研究会の活動を投稿していきます。なお、来週から中間試験1週間前となりますので、2週間活動を休止します。